The Boltzmann-Grad limit of the periodic Lorentz gas in two space dimensions

The periodic Lorentz gas is the dynamical system corresponding to the free motion of a point particle in a periodic system of fixed spherical obstacles of radius r centered at the integer points, assuming all collisions of the particle with the obstacles to be elastic. In this Note, we study this motion on time intervals of order 1/r as r → 0. Résumé La limite de Boltzmann-Grad du gaz de Lorentz périodique en dimension deux d’espace. Le gaz de Lorentz périodique est le système dynamique correspondant au mouvement libre dans le plan d’une particule ponctuelle rebondissant de manière élastique sur un système de disques de rayon r centrés aux points de coordonnées entières. On étudie ce mouvement pour r → 0 sur des temps de l’ordre de 1/r. Version française abrégée On appelle gaz de Lorentz le système dynamique correspondant au mouvement libre d’une particule ponctuelle dans un système d’obstacles circulaires de rayon r centrés aux sommets d’un réseau de R, supposant que les collisions entre la particule et les obstacles sont parfaitement élastiques. Les trajectoires de la particule sont alors données par les formules (2). La limite de Boltzmann-Grad pour le gaz de Lorentz consiste à supposer que le rayon des obstacles r → 0, et à observer la dynamique de la particule sur des plages de temps longues, de l’ordre de 1/r — voir (3) pour la loi d’échelle de Boltzmann-Grad en dimension 2. Or les trajectoires de la particule s’expriment en fonction de l’application de transfert d’obstacle à obstacle Tr définie par (8) — où la notation Y désigne la transformation inverse de (7) — application qui associe, à tout paramètre d’impact h ∈ [−1, 1] correspondant à une particule quittant la surface d’un Preprint submitted to the Académie des sciences 4 octobre 2007 obstacle dans la direction ω ∈ S, le paramètre d’impact h à la collision suivante, ainsi que le temps s s’écoulant jusqu’à cette collision. (Pour une définition de la notion de paramètre d’impact, voir (6).) On se ramène donc à étudier le comportement limite de l’application de transfert Tr pour r → 0. Proposition 0.1 Lorsque 0 < ω2 < ω1 et α = ω2 ω1 / ∈ Q, l’application de transfert Tr est approchée à O(r) près par l’application TA,B,Q,N définie à la formule (14). Pour ω ∈ S quelconque, on se ramène au cas ci-dessus par la symétrie (15). Les paramètres A,B,Q,N mod. 2 intervenant dans l’application de transfert asymptotique sont définis à partir du développement en fraction continue (9) de α par les formules (11) et (12). On voit sur ces formules que les paramètres A,B,Q,N mod. 2 sont des fonctions très fortement oscillantes des variables ω et r. Il est donc naturel de chercher le comportement limite de l’application de transfert Tr dans une topologie faible vis à vis de la dépendance en la direction ω. On montre ainsi que, pour tout h ∈ [−1, 1], la famille d’applications ω 7→ Tr(h, ω) converge au sens des mesures de Young (voir par exemple [8] p. 146–154 pour une définition de cette notion) lorsque r → 0 vers une mesure de probabilité P (s, h|h′)dsdh indépendante de ω : Théorème 0.2 Pour tout Φ ∈ Cc(R+×]− 1, 1[) et tout h ∈] − 1, 1[, la limite (16) a lieu dans L(S) faible-* lorsque r → 0, où la mesure de probabilité P (s, h|h′)dsdh est l’image de la probabilité μ définie dans (17) par l’application (A,B,Q,N) 7→ TA,B,Q,N (h) de la formule (14). De plus, cette densité de probabilité de transition P (s, h|h′) vérifie les propriétés (18). Le théorème ci-dessus est le résultat principal de cette Note : il montre que, dans la limite de BoltzmannGrad, le transfert d’obstacle à obstacle est décrit de manière naturelle par une densité de probabilité de transition P (s, h|h′), où s est le laps de temps entre deux collisions successives avec les obstacles (dans l’échelle de temps de la limite de Boltzmann-Grad), h le paramètre d’impact lors de la collision future et h celui correspondant à la collision passée. Le fait que la probabilité de transition P (s, h|h′) soit indépendante de la direction suggère l’hypothèse d’indépendance (H) des quantités A,B,Q,N mod. 2 correspondant à des collisions successives. Théorème 0.3 Sous l’hypothèse (H), pour toute densité de probabilité f in ∈ Cc(R × S), la fonction de distribution fr ≡ fr(t, x, ω) de la théorie cinétique, définie par (3) converge dans L(R+ ×R2 × S) vers la limite (22) lorsque r → 0, où F est la solution du problème de Cauchy (21) posé dans l’espace des phases étendu (x, ω, s, h) ∈ R × S ×R+×]− 1, 1[. Dans le cas d’obstacles aléatoires indépendants et poissonniens, Gallavotti a montré que la limite de Boltzmann-Grad du gaz de Lorentz obéit à l’équation cinétique de Lorentz (4). Le cas périodique est absolument différent : en se basant sur des estimations (cf. [3] et [7]) du temps de sortie du domaine Zr défini dans (1), on démontre que la limite de Boltzmann-Grad du gaz de Lorentz périodique ne peut pas être décrite par l’équation de Lorentz (4) sur l’espace des phases R × S classique de la théorie cinétique : voir [6]. Si l’hypothèse (H) ci-dessous était vérifiée, le modèle cinétique (22) dans l’espace des phases étendu fournirait donc l’équation devant remplacer l’équation cinétique classique de Lorentz (4) dans le cas périodique.